Phương trình bậc hai. Hệ thức Vi-ét

Phương trình $ax^2+bx+c$ $=0\ (a$ $\ne 0)$ có $\Delta=b^2-4ac$.

• $\Delta<0$: phương trình vô nghiệm.
• $\Delta=0$: nghiệm kép $x_1$ $=x_2$ $=-\dfrac{b}{2a}$.
• $\Delta>0$: hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}$ $=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.

Khi $b=2b'$, đặt $\Delta'=b'^2-ac$.

• $\Delta'<0$: vô nghiệm.
• $\Delta'=0$: nghiệm kép $x_1$ $=x_2$ $=-\dfrac{b'}{a}$.
• $\Delta'>0$: $x_{1,2}$ $=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$.

Nếu $x_1,\ x_2$ là hai nghiệm của $ax^2+bx+c$ $=0\ (a$ $\ne0)$ thì

Nếu hai số có $x_1+x_2=S$ và $x_1x_2=P$ thì chúng là nghiệm của phương trình

Hai số đó tồn tại khi $S^2-4P\ge 0$.

• Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình có nghiệm $x_1$ $=1$ $;\ x_2$ $=\dfrac ca$.
• Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình có nghiệm $x_1$ $=-1$ $;\ x_2$ $=-\dfrac ca$.

• $a$ và $c$ trái dấu: luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
• Hai nghiệm trái dấu $x_1$ $<0$ $<x_2 \iff x_1x_2$ $<0$ (hay $ac<0$).
• Hai nghiệm cùng dương: $\begin{cases}\Delta\ge0\\ x_1+x_2>0\\ x_1x_2>0\end{cases}$
• Hai nghiệm cùng âm: $\begin{cases}\Delta\ge0\\ x_1+x_2<0\\ x_1x_2>0\end{cases}$

• $x_1^2+x_2^2$ $=S^2-2P$
• $(x_1-x_2)^2$ $=S^2-4P$
• $x_1^3+x_2^3$ $=S^3-3SP$
• $\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}$ $=\dfrac SP$