Hai thùng chứa tổng cộng 120 lít dầu. Thùng thứ nhất chứa nhiều hơn thùng thứ hai 20 lít. Hỏi mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu?
Số lớn $=$ (Tổng $+$ Hiệu) $:2$, số bé $=$ (Tổng $-$ Hiệu) $:2$.
Một ô tô khởi hành lúc 7 giờ 30 phút và đến nơi lúc 10 giờ 15 phút, dọc đường nghỉ 15 phút. Quãng đường dài 100 km. Tính vận tốc của ô tô.
Thời gian đi $=$ Thời điểm đến $-$ Thời điểm khởi hành $-$ Thời gian nghỉ:
Vận tốc: $v$ $=s:t$ $=100:2{,}5$ $=40$ (km/giờ).
Cô giáo có 24 chiếc bút và 36 quyển vở, muốn chia đều vào các phần quà sao cho số bút và số vở trong mỗi phần như nhau. Có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần quà? Khi đó mỗi phần có bao nhiêu bút, bao nhiêu vở?
Số phần quà là ước chung của 24 và 36, nhiều nhất nên là ƯCLN$(24,36)$. $24=2^3\cdot3$; $\ 36=2^2\cdot3^2$ nên ƯCLN$(24,36)$ $=2^2\cdot3$ $=12$. Mỗi phần có $24:12=2$ bút và $36:12=3$ vở.
Ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được tổng cộng 120 cây. Số cây của ba lớp tỉ lệ với $3;4;5$. Tính số cây mỗi lớp trồng được.
Gọi số cây của ba lớp là $x,y,z$ ($x,y,z\in\mathbb N^*$). Ta có $\dfrac x3$ $=\dfrac y4$ $=\dfrac z5$ và $x+y+z=120$. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Suy ra $x=30$, $y=40$, $z=50$.
Cho $\triangle ABC$ có $DE\parallel BC$ ($D\in AB$, $E\in AC$). Biết $AD=4$ cm, $DB=2$ cm, $AC=9$ cm, $BC=12$ cm. Tính $AE$ và $DE$.
$AB=AD+DB=6$ cm. Vì $DE\parallel BC$, theo định lí Thalès:
Theo hệ quả của định lí Thalès:
Cho biểu thức $P$ $=\dfrac{\sqrt x+1}{\sqrt x-2}$ $+\dfrac{2\sqrt x}{\sqrt x+2}$ $+\dfrac{2+5\sqrt x}{4-x}$ với $x\ge 0,\ x\ne 4$.
a) Mẫu chung $x-4$ $=(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)$. Viết $\dfrac{2+5\sqrt x}{4-x}$ $=-\dfrac{2+5\sqrt x}{x-4}$:
b) $\dfrac{3\sqrt x}{\sqrt x+2}$ $=2\iff 3\sqrt x$ $=2\sqrt x+4\iff\sqrt x$ $=4\iff x$ $=16$ (thỏa điều kiện).
Cho phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+3$ $=0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=10$.
Điều kiện có nghiệm: $\Delta'$ $=(m+1)^2-(m^2+3)$ $=2m-2$ $\ge 0\iff m$ $\ge 1$. Theo Vi-ét: $x_1+x_2=2(m+1)$, $x_1x_2=m^2+3$.
$2m^2+8m-2$ $=10\iff m^2+4m-6$ $=0\iff m$ $=-2\pm\sqrt{10}$. Đối chiếu $m\ge 1$: chỉ nhận $m=-2+\sqrt{10}$ (vì $\sqrt{10}$ $\approx3{,}16$).
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 4 giờ 48 phút đầy bể. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 4 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể?
Đổi 4 giờ 48 phút $=\dfrac{24}5$ giờ. Gọi thời gian vòi I chảy riêng đầy bể là $x$ (giờ), $x>\dfrac{24}5$. Vòi II cần $x+4$ (giờ). Mỗi giờ hai vòi chảy được $\dfrac1x+\dfrac1{x+4}$ $=\dfrac5{24}$ bể.
$\Delta$ $=28^2+4\cdot5\cdot96$ $=2704$ $=52^2$, nên $x$ $=\dfrac{28+52}{10}$ $=8$ (nhận) hoặc $x=-\dfrac{12}5$ (loại). Vậy vòi I chảy riêng mất 8 giờ, vòi II mất 12 giờ.
Một hộp có 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh có cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi khác màu.
Đánh số bi đỏ $Đ_1,Đ_2,Đ_3$ và bi xanh $X_1,X_2$. Không gian mẫu gồm các cặp không kể thứ tự: $n(\Omega)=10$. Các kết quả thuận lợi (1 đỏ, 1 xanh): $3\cdot2=6$ kết quả.
Một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng ($x\in\mathbb N^*$, $1\le x\le 4500$) thì doanh thu khi bán hết là $F(x)$ $=-0{,}01x^2+300x$ (nghìn đồng), chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là $G(x)$ $=\dfrac{30000}x+200$ (nghìn đồng). Giả sử sản phẩm luôn bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn hơn 100 triệu đồng?
Tổng chi phí: $C(x)$ $=x\cdot G(x)$ $=30000+200x$. Lợi nhuận: $P(x)$ $=F(x)-C(x)$ $=-0{,}01x^2+100x-30000$. $P(x)$ $>100000\iff$ $-0{,}01x^2$ $+100x$ $-130000$ $>0\iff 1535{,}9$ $<x$ $<8464{,}1$ (xấp xỉ). Kết hợp $x\in\mathbb N^*$, $1\le x\le 4500$ được $1536\le x\le 4500$. Vậy cần sản xuất ít nhất 1536 sản phẩm.
Một chậu nước dạng hình chóp cụt đều, đáy chậu là tam giác đều cạnh 2 dm, miệng chậu là tam giác đều cạnh 5 dm, chiều cao 3 dm. Bơm nước vào chậu với lưu lượng không đổi $\dfrac{\sqrt3}3$ lít/phút. Tại thời điểm 14 phút sau khi bơm, tốc độ dâng của nước là $\dfrac1a$ dm/phút. Tìm $a$.
Bước 1. Ở độ cao $x$, cạnh mặt nước tăng tuyến tính từ 2 lên 5 sau 3 dm: $s(x)$ $=2+\dfrac{5-2}3x$ $=x+2$. Diện tích mặt nước $S(x)$ $=\dfrac{\sqrt3}4(x+2)^2$. Bước 2. Thể tích sau 14 phút: $V$ $=\dfrac{\sqrt3}3\cdot14$ $=\dfrac{14\sqrt3}3$ (dm³). Theo chiều cao $h$:
Cho bằng nhau: $(h+2)^3-8$ $=56$ $\Rightarrow(h+2)^3$ $=64$ $\Rightarrow h$ $=2$ dm. Bước 3. Lưu lượng $Q=S(h)\cdot h'(t)$. Với $S(2)=4\sqrt3$:
Một hạt cườm được tạo bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi trục $Ox$ và nửa trên elip $\dfrac{x^2}{1{,}5^2}$ $+\dfrac{y^2}{1^2}$ $=1$ quanh $Ox$ (đơn vị cm), sau đó khoan dọc trục xoay một lỗ hình trụ bán kính 0,2 cm. Tính thể tích hạt cườm (làm tròn đến hàng phần trăm).
Nửa trên elip: $y^2$ $=1-\dfrac{x^2}{2{,}25}$. Lỗ khoan giới hạn bởi $y=0{,}2$. Giao điểm: $1-\dfrac{x^2}{2{,}25}$ $=0{,}04\iff x$ $=\pm\sqrt{2{,}16}$. Do đối xứng:
Trong hệ $Oxyz$, mỗi đơn vị ứng với 10 m. Mục tiêu ở gốc $O$, vành đai bảo vệ là đường tròn tâm $O$ bán kính 7 nằm trong mặt $(Oxy)$. Máy bay bay thẳng từ $M(5;10;4)$ đến $N(14;-2;4)$. Khoảng cách từ máy bay đến vành đai là độ dài ngắn nhất từ máy bay đến một điểm trên vành đai.
a) Đúng. $\overrightarrow{MN}$ $=(14-5;-2-10;4-4)$ $=(9;-12;0)$. b) Sai. Chỉ phương $(3;-4;0)$, nhưng $z=4$: $x$ $=5+3t$ $,\ y$ $=10-4t$ $,\ z$ $=4$. c) Đúng. Vị trí máy bay $A(5+3t;10-4t;4)$, hình chiếu $A'(5+3t;10-4t;0)$. Đường $M'N': 4x+3y-50=0$ cách $O$ là $10>7$ nên $A'$ luôn ở ngoài vành đai. Khoảng cách từ $A$ đến vành đai:
$25t^2-50t+125$ nhỏ nhất bằng $100$ khi $t=1$, nên khoảng cách nhỏ nhất $=\sqrt{16+9}=5$ đơn vị $=50$ m. d) Đúng. $t=1$ cho vị trí $(8;6;4)$.
Khung trang trí là đa giác đều $A_1A_2\dots A_{12}$. Có 12 bóng đèn gồm 4 bóng đỏ và 8 bóng xanh có công suất đôi một khác nhau, lắp vào 12 đỉnh, mỗi đỉnh đúng một bóng. Gọi $P$ là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là đỉnh của đa giác) đều có ít nhất một bóng đỏ. Tính $3190P$.
$n(\Omega)=12!$. Có 3 hình vuông: $\{A_1,A_4,A_7,A_{10}\}$, $\{A_2,A_5,A_8,A_{11}\}$, $\{A_3,A_6,A_9,A_{12}\}$. Bốn bóng đỏ chia cho 3 hình vuông, mỗi hình có ít nhất 1 bóng, nên có 1 hình vuông chứa 2 bóng đỏ, 2 hình còn lại mỗi hình 1 bóng.